Løsning - 1T Eksamen, Vår 2020

Del 1 - Uten hjelpemidler

Steg én blir å sørge for at begge tierpotensene i telleren er av samme grad slik at vi kan faktorisere den. Deretter skriver vi nevneren på standardform, som lar oss forkorte tierpotensene.

$ \begin{align*} & \frac{5.5 \cdot 10^{-7} + 0.4 \cdot 10^{-6}}{0.005} \\ \\ & = \frac{5.5 \cdot 10^{-7} + 4 \cdot 10^{-7}}{5 \cdot 10^{-3}} \\ \\ & = \frac{(5.5 + 4)10^{-7}}{5 \cdot 10^{-3}} \\ \\ & = \frac{9.5 \cdot 10^{-4}}{5} \\ \\ & = \underline{1.9 \cdot 10^{-4}} \end{align*} $

Vi er ute etter et uttrykk $y = ax + b$, der $$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0-6}{4-2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Fra punktet $(2, \ 6)$ ser vi at $$ \begin{align*} y(2) &= 6 \\ 6 &= -3 \cdot 2 + b \\ b &= 12 \end{align*} $$ Likninga til linja er altså $\underline{y = -3x + 12}$.

Fra den første likninga får vi $y = 3-2x$, og setter det inn i den andre likninga, som gir $$ \begin{align*} 8x - 2(3-2x) &= -12 \\ 12x - 6 &= -12 \\ x &= -\frac12 \end{align*} $$ Setter denne $x$-verdien inn i en av likninge for å finne $y$. $$ \begin{align*} y &= 3-2x \\ y &= 3-2(-\frac12) \\ y &= 4 \end{align*} $$ Løsning: $\displaystyle \underline{x = -\frac12, \ y = 4}$

Faktoriserer $x^2 - 5x + 6$ ved nullpunktsmetoden og andregradsformelen. $$ \begin{align*} & x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ & = \frac{5 \pm 1}{2} \\ & \Rightarrow \ x=2 \vee x=3 \end{align*} $$ Så $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Da kan vi utvide den første brøken med $(x-3)$ slik at den også har begge faktorene i nevner. $$ \begin{align*} & \frac2{x-2} - \frac{x-4}{x^2 - 5x + 6} \\ \\ &= \frac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)} - \frac{x-4}{(x-2)(x-3)} \\ \\ &= \frac{2(x-3)-(x-4)}{(x-2)(x-3)} \\ \\ &= \frac{\cancel{x-2}}{\cancel{(x-2)}(x-3)} \\ \\ &= \underline{\frac1{(x-3)}} \end{align*} $$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket med andregradsformelen, men først deler vi gjennom ulikheten med 2, og får $x^2 + 6x + 9 \leq 0$. $$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 $$ Uttrykket har bare ett nullpunkt, og vi får dermed at $$2x^2 + 12x + 18 = 2(x+3)^2$$ Siden $(x+3)^2$ aldri kan bli negativ, ser vi at uttrykket i sin helhet aldri blir mindre enn 0. Eneste løsning er $\underline{x=-3}$, der uttrykket er nøyaktig $0$, og løser ulikheten.

Observerer at $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt5$$ og at $$\sqrt{80} = \sqrt{16\cdot 5} = 4\sqrt4$$ og til slutt $$\sqrt{125} = \sqrt{25\cdot5} = 5\sqrt5$$ Vi kan dermed forenkle uttrykket $$ \begin{align*} &\frac{\sqrt{45} + \sqrt{80}}{\sqrt{125}} \\ \\ &= \frac{3\sqrt5 + 4\sqrt5}{5\sqrt5} \\ \\ &= \frac{7\cancel{\sqrt5}}{5\cancel{\sqrt5}} \\ \\ &= \frac75 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 9^2 \cdot 3^{-3} \cdot 8^{\frac13} \cdot 27^{-\frac23} \\ \\ &= (3^2)^2 \cdot 3^{-3} \cdot (2^3)^{\frac13} \cdot (3^3)^{-\frac23} \\ \\ &= 3^4 \cdot 3^{-3} \cdot 2 \cdot 3^{-2} \\ \\ &= 3^{-1} \cdot 2 = \underline{\frac23} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \lg10 + \lg0.1 + \lg \frac1{100} + \lg\sqrt[3]{10} &= \lg10 + \lg10^{-1} + \lg10^{-2} + \lg10^{\frac13} \\ \\ &= \cancel{1 -1} - 2 + \frac13 \\ \\ &= \underline{-\frac53} \end{align*} $$

$a)$ Merk at $3 = \lg(1000)$. Det betyr at likningen kan skrives som $$ \begin{align*} \lg\left(\frac{3x-3}{3}\right) &= \lg(1000) \\ \\ \frac{3x-3}{3} &= 1000 \\ \\ x &= 999 \end{align*} $$ $b)$ $$ \begin{align*} 3^{x^2} \cdot 3^{-4x} &= 1 \\ \\ 3^{x^2 - 4x} &= 3^0 \\ \\ x^2 - 4x &= 0 \\ \\ x(x-4) &= 0 \\ \\ x=0 &\vee x = 4 \end{align*} $$

Det skraverte arealet er et kvadrat med sidelengde $a-b$ og arealet er da $A = (a-b)^2$

Alternativt kan vi observere at hele kvadratet har sidelengder $a$, med areal $a^2$. Det består samtidig av flere innvendige firkanter, og kan skrive det totale arealet som summen av de små arealene. $$a^2 = b \cdot a + b^2 + (a-b)^2 + a \cdot b$$ Lar $(a-b)^2$ stå alene på den ene siden og får $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ Dette er andre kvadratsetning!

Vinkelsummen i en trekant er $180^\circ$, så $\angle C = 45^\circ$. Vi har altså en $45-45-90$-trekant, og vet derfor at katetene $AB$ og $BC$ er like lange. La oss kalle denne lengda $x$. Fra Pytagoras: $$ \begin{align*} &x^2 + x^2 &= (4 \text{cm})^2 &= 16 \text{cm}^2\\ &x^2 &= 8\text{cm}^2 \\ &x &= \sqrt8 \text{cm} \\ &x &= 2\sqrt2 \text{cm} \end{align*} $$

$$P(2, \ 4) = \frac1{10} \cdot \frac1{10} = \frac1{100}$$ $$P(4, \ 2) = \frac1{10} \cdot \frac1{10} = \frac1{100}$$ $$P(2, 4 \ \text{eller} \ 4, 2) = \frac{1}{100} + \frac1{100} = \underline{\frac{1}{50}}$$

$a)$ Markerer midtpunktet på linja $AB$ og kaller det $M$. Deretter kan vi trekke en linje $CM$. Vi får da en rettvinklet trekant $\triangle AMC$ med hypotenus $AC$. Vi kan la $AC = 1$ uten tap av generalitet, og $AM = \frac12$. Det vil se slik ut:

Hvis vi tar utgangspunkt i den $30^\circ$ vinkelen i $\angle ACM$, så ser vi at $$ \begin{align*} \sin(30^\circ) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} \\ \\ &= \frac{AM}{AC} \\ \\ &= \frac{\frac12}{1} \\ \\ &= \frac12 \end{align*} $$ som var det vi ønsket å vise.

Fra cosinussetningen: $$ \begin{align*} (QR)^2 &= 8^2 + 5^2 - 2 \cdot8 \cdot5 \cdot \cos(60^\circ) \\ \\ &= 64 + 25 + 80 \cdot \frac12 \\ \\ &= 49 \\ \\ &\Rightarrow QR = \sqrt{49} = \underline7 \end{align*} $$

Grafen til den deriverte av $p$ må være positiv frem til $x \approx 0.5$, negativ frem til $x \approx 1.5$ og positiv etter. Graf $2$ er den deriverte av $p$.

$q$ er stigende med konstant vekstfart, som betyr at den deriverte er en konstant funksjon med positiv verdi. Graf $4$ er den deriverte av $q$.

$r$ er synkende når $x<0$ og stigende når $x>0$, og flat når $x=0$. Den deriverte må da være negativ når $x<0$ og positiv når $x>0$, og lik null når $x=0$. Graf $5$ er den deriverte av $r$.

$s$ er synkende overalt, så dens deriverte må være negativ overalt. Graf $3$ er den deriverte av $s$.

Vi observerer at den deriverte må være lik null i terrassepunktet, $x=2$, og videre at $f'(1) = 3$, og $f'(4) = 12$. I tillegg ser vi at bortsett fra terrassepunktet, så er grafen hele tiden stigende, som betyr at den deriverte kun skal ha et nullpunkt i $x=2$, og være positiv ellers.

Merk: Når man blir bedt om å tegne en funksjon for hånd, så er det aldri forventet at den skal være perfekt. Vi tar utgangspunkt i de punktene vi faktisk har verdier for, og fyller inn resten etter skjønn.

Del 2 - Med hjelpemidler

Vi tegner funksjonen i Geogebra, og passer på å bruke grensene, siden $x$ kun skal være mellom 0 og 120.

T(x) := Funksjon(470 * 0.95^x + 30, 0, 12)

Dette vil være tidspunktet der $x=0$. Temperaturen er da $T(0) = 500^\circ C$.

Vi markerer linja $y=150$ og finner ut hvor den skjærer $T(x)$.

y=150

Skjæring(T(x), y=150)

Vi ser at $x \approx 26.62$ er det tidspunktet der temperaturen har gått ned til 150 grader. Altså har smeden ca. 26 og et halvt minutt på seg til å bearbeide metallstykket.

Linjene 2, 3, 4, 5 er løsningene på A, B, C, D respektivt. Merk at jeg bruker engelsk versjon av Geogebra men i norsk versjon trenger du bare å oversette "Function" til "Funksjon", og "NSolve" til "NLøs".

Den lange verdien i linje 5 kan fås enkelt ved å klikke på verdien i linje 4. Merk at alle verdiene er tilnærminger, men hvis man klikker på dem, så får man en mer nøyaktig verdi å bruke i neste linje.

Fra krysstabellen ser vi at det er totalt 12 hengelåser med feil, av totalt 300 produserte hengelåser. $$P(\text{feil}) = \frac{12}{300} = \underline{\frac1{25}}$$

Vi har tatt en av de 12 hengelåsene med feil på. Av dem er 10 produsert av maskin A. $$ P(\text{Maskin A}) = \frac{10}{12} = \underline{\frac56}$$

Punktet forteller oss at $$ \begin{align*} f(2) &= 6 \\ a \cdot 2^3 - 2b - 2 &= 6 \\ 8a - 2b - 2 &= 6 \end{align*} $$ Dersom $f$ har et toppunkt når $x=2$, så betyr det at den deriverte er null her. $$ \begin{align*} f'(x) &= 3ax^2 - b \\ f'(2) &= 0 \\ 3a \cdot 2^2 - b &= 0 \\ 12a - b &= 0 \end{align*} $$ som vi ønsket å vise.

Linje 4 viser løsningen: $a = -\frac12, \quad b = -6$.

Vi ser at alle sidene er kjent, og husker at cosinussetningen da kan gi oss en hvilken som helst av vinklene vi ønsker. Velger vinkel A. Den siden som ikke berører denne vinkelen er $10\sqrt2$, som da blir stående alene på den ene siden av likhetstegnet. $$\left( 10\sqrt2 \right)^2 = \left( 6\sqrt{10} \right)^2 + \left( 4\sqrt5 \right)^2 - 2\cdot 6\sqrt{10} \cdot 4\sqrt5 \cdot \cos A$$ Vi setter dette inn i CAS, og lar den løse denne likninga for oss, slik at vi finner ut hva $\cos A$ er. Se linje 1 i CAS-løsning nedenfor. Merk at vi nå har en variabel ved navn "cosA". Dette er ikke et faktisk uttrykk for cosinus-verdien av A. Men i linje 2 bruker vi den funne verdien til å løse for A. Vi får to mulige verdier, men vi har ikke negative vinkler i trekanten så vi ser bort fra den.

I linje 3 bruker vi Sinussetningen for å finne $\sin C$ ved hjelp av at vi nå vet at $A=45^\circ$.

a) Vi ser at AP er radien til oculus, og vi kan finne denne ved å bruke definisjonen av sinus i den rettvinklede trekanten $\triangle APQ$. Diameteren AB er da den dobbelte av radien AP.

b) Vi tegner en hjelpefigur med sollyset vinklet slik at den akkurat treffer hjørnet mellom veggen og gulvet. Vi er altså ute etter å finne hvilken $\angle v$ som oppfyller dette.

Av denne skissa ser vi at $\angle v$ oppe ved punkt A, er den samme som $\angle v$ nede i hjørnet av Pantheon. Vi kan derfor bruke trekanten $\triangle ATH$ for å regne ut denne vinkelen. Se CAS-løsning med forklaring nedenfor.

Linje 1: Innfører lengda PQ ved bruk av cosinus i den rettvinklede trekanten $\triangle APQ$.
Linje 2: Innfører TH som den fulle høyda av Pantheon. Merk at høyda av sylinderen er 21.65, oppgitt i teksten.
Linje 3: Innfører lengda fra gulvet rett under A, bort til hjørnet. Dette gir oss nå den rettvinklede trekanten $\triangle ATH$ som vi bruker til å regne ut $\angle v$.
Linje 4: Regner ut vinkelen med tangens, siden vi kjenner lengda av katetene i trekanten.